Question

6．（1）函數(shù)f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，+∞）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是減函數(shù)，求f（2）的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）=x²-（5a-2）x-4在[2，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可；
（2）通過函數(shù)f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是減函數(shù)可知對稱軸在區(qū)間的右邊可知a≥$\frac{11}{3}$，進而f（2）≥（$\frac{11}{3}$-3）²-3=-$\frac{23}{9}$；
（3）先求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，+∞）是增函數(shù)，
則對稱軸x=$\frac{3a-1}{2}$≤1，解得：a≤1；
（2）：f（x）=x²-（3a-1）x+a²=（x-$\frac{3a-1}{2}$）²-$\frac{{5a}^{2}-6a+1}{4}$，
∵函數(shù)f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是減函數(shù)，
∴$\frac{3a-1}{2}$≥5，
解得：a≥$\frac{11}{3}$，
∴f（2）=4-2（3a-1）+a²
=（a-3）²-3
≥（$\frac{11}{3}$-3）²-3
=-$\frac{23}{9}$，
∴f（2）的取值范圍是[-$\frac{23}{9}$，+∞）；
（3）∵函數(shù)f（x）=x²-（5a-2）x-4在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴對稱軸x=$\frac{5a-2}{2}$≤2，解得：a≤$\frac{6}{5}$

點評 本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．