Question

3．如圖所示，有一半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成一等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．
（1）寫出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出它的定義域；
（2）求這個(gè)梯形周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)的腰長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，OC，在△OAD中，若設(shè)∠AOD=θ，由余弦定理可得，cosθ=$\frac{2{R}^{2}-{x}^{2}}{2{R}^{2}}$；在△OCD中，由∠COD=180°-2θ，可得DC²=2R²-2R²•cos（180°-2θ），從而得DC；即得梯形的周長(zhǎng)y和x的取值范圍．
（2）利用配方法，可得這個(gè)梯形周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)的腰長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖所示，連接OD，OC，則OC=OD=OA=OB=R，
在△OAD中，設(shè)∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得
x²=2R²-2R²•cosθ，θ∈（0，90°），∴cosθ=$\frac{2{R}^{2}-{x}^{2}}{2{R}^{2}}$；
在△OCD中，∠COD=180°-2θ，同理：
DC²=2R²-2R²•cos（180°-2θ）=2R²（1+cos2θ）=2R²•2cos²θ=4R²•cos²θ，
∴DC=2R•cosθ=2R•$\frac{2{R}^{2}-{x}^{2}}{2{R}^{2}}$=2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$；
所以梯形的周長(zhǎng)：y=2R+2x+（2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$）=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R；
∵x²=2R²-2R²•cosθ＜2R²，∴x＜$\sqrt{2}$R，∴定義域?yàn)椋?，$\sqrt{2}$R）．
（2）y=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R=-$\frac{1}{R}$（x-R）²+5R，∴x=R，梯形周長(zhǎng)的最大值5R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，也考查了二倍角公式的靈活應(yīng)用，考查配方法，屬于中檔題．