Question

13．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜0$，且f（2）=0，則不等式$\frac{2f（x）+f（-x）}{5（x-1）}$＜0的解集是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（1，2）
• C． （-2，1）∪（2，+∞）
• D． （-2，1）∪（1，2）

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合將不等式進行轉(zhuǎn)化即可解不等式即可．

解答 解：∵任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜0$，
∴此時函數(shù)f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∵f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則不等式$\frac{2f（x）+f（-x）}{5（x-1）}$＜0等價為$\frac{3f（x）}{5（x-1）}$＜0，即$\frac{f（x）}{x-1}$＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＜0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2或x＜-2}\\{x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
即x＜-2或1＜x＜2，
故不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，2）．
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的解集，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．