Question

16．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+4a（x＜1）}\\{（a-3）x+4a（x≥1）}\end{array}\right.$，滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有 $\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． （0，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，1）
• D． [1，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題中條件，可以先判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，再結(jié)合分段函數(shù)的解析式，要每一段都是減函數(shù)，且分界點(diǎn)時(shí)左段函數(shù)的函數(shù)值要大于等于右段函數(shù)的函數(shù)值，列出不等關(guān)系，求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號(hào)，
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可知f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（a-3）x+4a為減函數(shù)，則a-3＜0，即a＜3，①
且當(dāng)x=1時(shí)，有最大值[（a-3）x+4a]_max=5a-3；
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x²-2ax+4a為二次函數(shù)，圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=a，
若f（x）在（-∞，1）上為減函數(shù)，則對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，即a≥1，②
且（x²-2ax+4a）_min＞f（1）=1+2a；
又由題意，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞減，
則（x²-2ax+4a）_min≥[（a-3）x+4a]_max，
即1+2a≥5a-3，解得a≤$\frac{4}{3}$；③
綜合①②③可得a的取值范圍：1≤a≤$\frac{4}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．對(duì)于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．注意解題方法的積累，屬于中檔題．