Question

1．已知曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，定點M（1，0），直線l經(jīng)過點（0，1），斜率為t，與曲線C交于不同的兩點A、B，設AB的中點為P，求直線MP的斜率k關于t的函數(shù)關系k=f（t）．

Answer 1

分析 設直線l的方程為y=tx+1，P（x，y），則k=$\frac{y}{x-1}$=$\frac{tx+1}{x-1}$=t+$\frac{t+1}{x-1}$，y=tx+1代入曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得（2-t²）x²-2tx-9=0，求出P的橫坐標，即可得出結論．

解答 解：設直線l的方程為y=tx+1，P（x，y），則k=$\frac{y}{x-1}$=$\frac{tx+1}{x-1}$=t+$\frac{t+1}{x-1}$，
y=tx+1代入曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得（2-t²）x²-2tx-9=0，
∵AB的中點為P，
∴x=$\frac{2t}{2-{t}^{2}}$，
∴k=t+$\frac{t+1}{\frac{2t}{2-{t}^{2}}-1}$=$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2t-2}$．

點評 本題考查曲線與方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．