Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$，且f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明；
（3）求證：方程f（x）-lnx=0至少有一根在區(qū)間（1，3）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0列出方程組解出a，b；
（2）先對(duì)f（x）化簡(jiǎn)，然后使用定義法判斷；
（3）利用零點(diǎn)的存在性定理證明．

解答 解：（1）∵f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+b}{2+a}=\frac{1}{3}}\\{\frac{1+b}{1+a}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（2）f（x）在定義域上是增函數(shù)，
證明：f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，設(shè)x₁，x₂是R上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}+1}-{2}^{{x}_{2}+1}}{（{2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴2${\;}^{{x}_{1}+1}$＜2${\;}^{{x}_{2}+1}$，2${\;}^{{x}_{1}}$＞0，2${\;}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在定義域R上是增函數(shù)．
（3）令g（x）=f（x）-lnx=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-lnx，則g（x）在[1，3]上連續(xù)，
∵g（1）=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$＞0，g（3）=1-$\frac{2}{9}$-ln3=$\frac{7}{9}$-ln3＜0．
∴g（x）在（1，3）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程f（x）-lnx=0至少有一根在區(qū)間（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．