Question

13．寫(xiě)出下列函數(shù)的值域：
（1）y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+7）：（-∞，-1]；
（2）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$：[2，+∞）；
（3）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$：[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)t=x²-4x+7，則t=x²-4x+7=（x-2）²+3≥3，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+7）≤log${\;}_{\frac{1}{3}}$3=-1：
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1]．
（2）$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{1}{（x-1）^{2}+4}$∈（0，$\frac{1}{4}$]，
則y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$=2，
即函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．
（3）由3-2x-x²＞0得$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$∈（0，2]，
則y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$≥y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-1，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]，[2，+∞），[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．