Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={（\frac{3}{2}）^{n-1}}$，則滿足不等式$\sum_{i=1}^n{\frac{3}{a_i}}＞\sum_{i=1}^n{a_i}$的正整數(shù)n的集合為{1，2，3}．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得$9[1-{（\frac{2}{3}）}^{n}]$＞$2[{（\frac{3}{2}）}^{n}-1]$，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得${（\frac{3}{2}）}^{n}$＜$\frac{9}{2}$，解得答案．

解答 解：∵${a_n}={（\frac{3}{2}）^{n-1}}$，
∴$\sum _{i=1}^{n}\frac{3}{{a}_{i}}$=$\frac{3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=$9[1-{（\frac{2}{3}）}^{n}]$，$\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}=\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n}}{1-\frac{3}{2}}$=$2[{（\frac{3}{2}）}^{n}-1]$，
若$\sum_{i=1}^n{\frac{3}{a_i}}＞\sum_{i=1}^n{a_i}$，則$9[1-{（\frac{2}{3}）}^{n}]$＞$2[{（\frac{3}{2}）}^{n}-1]$，
∴$\frac{{（\frac{3}{2}）}^{n}-1}{1-{（\frac{2}{3}）}^{n}}$=${（\frac{3}{2}）}^{n}$＜$\frac{9}{2}$，
解得：m=1，n=2，n=3，
∴滿足不等式$\sum_{i=1}^n{\frac{3}{a_i}}＞\sum_{i=1}^n{a_i}$的正整數(shù)n的集合為{1，2，3}，
故答案為：{1，2，3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，指數(shù)不等式的解法，難度中檔．