Question

19．若S_n是公差不為0的等差數(shù){a_n}的前n項和，且S₁，S₂，S₄成等比例數(shù)列．
（Ⅰ）求等數(shù)列S₁，S₂，S₄的公比；
（Ⅱ）若S₂=4，設(shè)b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n$＜\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）S₂=4，可得4a₁=4，解得a₁．可得d．可得a_n=2n-1．可得b_n=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”可得T_n，再利用“放縮法”、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù){a_n}的公差為d≠0，
∵S₁，S₂，S₄成等比例數(shù)列．
∴${S}_{2}^{2}={S}_{1}•{S}_{4}$，
∴$（2{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（4a₁+6d），
化為d=2a₁．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+d}{{a}_{1}}$=$\frac{3{a}_{1}}{{a}_{1}}$=3．
∴等比數(shù)列S₁，S₂，S₄的公比為3．
（II）∵S₂=4，∴4a₁=4，解得a₁=1．
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{3}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{3n}{2n+1}$，
由T_n$＜\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立，
則$m＞20×\frac{3n}{2n+1}$=20×$\frac{3}{2+\frac{1}{n}}$＞$20×\frac{3}{2}$=30，
∴使得T_n$＜\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m為31．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、“放縮法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．