Question

3．某食品的保鮮時間t（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系t=$\left\{\begin{array}{l}{64，x≤0}\\{{2}^{kx+6}，x＞0}\end{array}\right.$且該食品在4℃的保鮮時間是16小時．已知甲在某日上午10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示，給出以下四個結(jié)論：
①該食品在6℃的保鮮時間是8小時；
②當(dāng)x∈[-6，6]時，該食品的保鮮時間t隨看x增大而逐漸減少；
③到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi)；
④到了此日14時，甲所購買的食品已然過了保鮮時間
其中，所有正確結(jié)論的序號是①④．

Answer 1

分析 根據(jù)食品在4℃的保鮮時間是16小時．求出k值，進(jìn)而逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵食品的保鮮時間t（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系t=$\left\{\begin{array}{l}{64，x≤0}\\{{2}^{kx+6}，x＞0}\end{array}\right.$且該食品在4℃的保鮮時間是16小時．已
∴2^4k+6=16，即4k+6=4，解得：k=$-\frac{1}{2}$，
∴t=$\left\{\begin{array}{l}64，x≤0\\{2}^{-\frac{1}{2}x+6}，x＞0\end{array}\right.$，
當(dāng)x=6時，t=8，故①該食品在6℃的保鮮時間是8小時，正確；
②當(dāng)x∈[-6，0]時，保鮮時間恒為64小時，當(dāng)x∈（0，6]時，該食品的保鮮時間t隨看x增大而逐漸減少，故錯誤；
③到了此日10時，溫度超過8度，此時保鮮時間不超過4小時，故到13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi)，故錯誤；
④到了此日14時，甲所購買的食品已然過了保鮮時間，故正確，
故正確的結(jié)論的序號為：①④，
故答案為：①④．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，難度中檔．