19.已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=2,2nan+1-(3n+2)an+(n+1)an-1=0(n≥2),求a2009的值.

分析 2nan+1-(3n+2)an+(n+1)an-1=0(n≥2),可得n(2an+1-an)-(n+1)(2an-an-1)=0,變形為:$\frac{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$,利用“累乘求積”可得:2an+1-an=n+1,變形為an+1-n=$\frac{1}{2}[{a}_{n}-(n-1)]$,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

解答 解:∵2nan+1-(3n+2)an+(n+1)an-1=0(n≥2),
∴2nan+1-nan-(2n+2)an+(n+1)an-1=0,
∴n(2an+1-an)-(n+1)(2an-an-1)=0,
∴$\frac{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$,
∴2an+1-an=$\frac{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}$×$\frac{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}-{a}_{n-2}}$×…×$\frac{2{a}_{3}-{a}_{2}}{2{a}_{2}-{a}_{1}}$×(2a2-a1)=$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n}{n-1}$×…×$\frac{3}{2}$×2=n+1,
∴2an+1-an=n+1,
∴an+1-n=$\frac{1}{2}[{a}_{n}-(n-1)]$,
∴數(shù)列{an-(n-1)}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為$\frac{1}{2}$.
∴an-(n-1)=$(\frac{1}{2})^{n-2}$,
∴an=(n-1)+$(\frac{1}{2})^{n-2}$,n=1時(shí)也成立.
∴an=(n-1)+$(\frac{1}{2})^{n-2}$,
∴a2009=2008+$(\frac{1}{2})^{2006}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累乘求積”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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