Question

14．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），點A在直線l上．
（Ⅰ）求點A對應的參數t；
（Ⅱ）若曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），直線l與曲線C交于M、N兩點，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化點A的極坐標為直角坐標，可得t值；
（Ⅱ）分別可得曲線C和直線l的普通方程，由弦長公式可得．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得x=ρcosθ=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=1，y=ρsinθ=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=1，
∴點A的直角坐標為（1，1），令$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=1，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=1，
可解得點A對應的參數t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）消去參數θ可得曲線C普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
同理可得直線l的普通方程為y=2-x，
聯立方程消并整理可得5x²-16x+12=0，
設M、N兩點的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由韋達定理可得x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，x₁x₂=$\frac{12}{5}$，
由弦長公式可得|MN|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）[（\frac{16}{5}）^{2}-4×\frac{12}{5}}]$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$

點評 本題考查橢圓的參數方程，涉及直線的參數方程以及弦長公式，屬中檔題．