Question

3．已知f（x）=3^x的反函數(shù)經(jīng)過點（18，a+2），設g（x）=3^ax-4^x的定義域為[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=g（x）-m有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=3^x的反函數(shù)經(jīng)過點（18，a+2），由f（x）=3^x經(jīng)過點（a+2，18），代入可得18=3^a+2，解出a即可得出g（x）．
（2）由g（x）=$-（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$．由x∈[-1，1]，可得2^x∈$[\frac{1}{2}，2]$．利用二次函數(shù)的單調性即可得出值域，進而得到m的取值范圍是$[-2，\frac{1}{4}]$．

解答 解：（1）f（x）=3^x的反函數(shù)經(jīng)過點（18，a+2），
∴f（x）=3^x經(jīng)過點（a+2，18），
∴18=3^a+2，
解得a=log₃2．
則g（x）=3^ax-4^x=2^x-（2^x）²．
（2）由g（x）=$-（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$．由x∈[-1，1]，可得2^x∈$[\frac{1}{2}，2]$．
∴g（x）∈$[-2，\frac{1}{4}]$．
∵函數(shù)F（x）=g（x）-m有零點，
∴m的取值范圍是$[-2，\frac{1}{4}]$．

點評 本題考查了互為反函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)的單調性、二次函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．