Question

10．若函數(shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，在[1，+∞）遞減．
（1）求a的值；
（2）求g（x）=a${\;}^{-{x}^{2}-2x}$的值域；
（3）解關于x的不等式：log_a（-2x+3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的單調性可知二次函數(shù)的對稱軸，結合二次函數(shù)的對稱性建立等量關系，求得a的值；
（2）利用配方法，結合指數(shù)函數(shù)的單調性求g（x）=a${\;}^{-{x}^{2}-2x}$的值域；
（3）log_a（-2x+3）＜0化為log₂（-2x+3）＜log₂1，利用對數(shù)函數(shù)的單調性解不等式．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，在[1，+∞）遞減，
∴二次函數(shù)f（x）=-x²+ax+4的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$=1，
∴a=2；
（2）g（x）=2${\;}^{-{x}^{2}-2x}$=${2}^{-（x+1）^{2}+1}$≤2，
∵g（x）＞0，∴g（x）=a${\;}^{-{x}^{2}-2x}$的值域為（0，2]；
（3）log₂（-2x+3）＜log₂1，
∴0＜-2x+3＜1，
∴1$＜x＜\frac{3}{2}$，
∴不等式的解集為{x|1$＜x＜\frac{3}{2}$}．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的單調性的應用，以及二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的有關性質，根據(jù)題意得到二次函數(shù)的對稱軸是解題的關鍵，屬于中檔題．