Question

15．對于數(shù)列{a_n}，稱P（a_k）=$\frac{1}{k-1}（|{{a_1}-{a_2}}|+|{{a_2}-{a_3}}|+…+|{{a_{k-1}}-{a_k}}|）$（其中k≥2，k∈N）為數(shù)列{a_n}的前k項“波動均值”．若對任意的k≥2，k∈N，都有P（a_k+1）＜P（a_k），則稱數(shù)列{a_n}為“趨穩(wěn)數(shù)列”．
（1）若數(shù)列1，x，2為“趨穩(wěn)數(shù)列”，求x的取值范圍；
（2）已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且a₁＞0，d＞0，其前n項和記為S_n，試計算：C_n²P（S₂）+C_n³P（S₃）+…+C_nⁿP（S_n）（n≥2，n∈N）；
（3）若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的公比q∈（0，1），求證：{b_n}是“趨穩(wěn)數(shù)列”．

Answer 1

分析 （1）由題意$|{1-x}|＞\frac{{|{1-x}|+|{x-2}|}}{2}$，從而解絕對值不等式即可；
（2）由a₁＞0，d＞0可化簡為$P（{S_k}）=\frac{1}{k-1}（|{a_2}|+|{a_3}|+…+|{a_n}|）={a_1}+\frac{k}{2}d$；從而得到$C_n^2P（{S_2}）+C_n^3P（{S_3}）+…+C_n^nP（{S_n}）$=${a_1}（C_n^2+C_n^3+…+C_n^n）$$+\fracy4kuc6y{2}（2C_n^2+3C_n^3+…+nC_n^n）$，從而解得．
（3）${b_n}={b_1}{q^{n-1}}（{b_1}＞0）$，從而判斷大小以去絕對值號，化簡可得$P（{b_{k+1}}）=\frac{{{b_1}（1-q）}}{k}（1+q+{q^2}+…+{q^{k-1}}）$，從而化為k（1+q+q²+…+q^k-2）＞（k-1）（1+q+q²+…+q^k-2+q^k-1），從而證明．

解答 解：（1）由題意，$|{1-x}|＞\frac{{|{1-x}|+|{x-2}|}}{2}$，
即|1-x|＞|x-2|；
解得，$x＞\frac{3}{2}$．
（2）$P（{S_k}）=\frac{1}{k-1}（|{{S_1}-{S_2}}|+|{{S_2}-{S_3}}|+…+|{{S_{k-1}}-{S_k}}|）$=$\frac{1}{k-1}（|{a_2}|+|{a_3}|+…+|{a_n}|）$，
∵a₁＞0，d＞0，
∴a_n=a₁+（n-1）d＞0，
∴$P（{S_k}）=\frac{1}{k-1}（|{a_2}|+|{a_3}|+…+|{a_n}|）={a_1}+\frac{k}{2}d$；
∴$C_n^2P（{S_2}）+C_n^3P（{S_3}）+…+C_n^nP（{S_n}）$=${a_1}（C_n^2+C_n^3+…+C_n^n）$$+\fracg4guo4y{2}（2C_n^2+3C_n^3+…+nC_n^n）$
=${a_1}（{2^n}-n-1）+$$\frac0y0oqms{2}（nC_{n-1}^1+nC_{n-1}^2+…+nC_{n-1}^{n-1}）$
=${a_1}（{2^n}-n-1）+$$\frac{nd}{2}（{2^n}-1）$；
（3）證明：由已知，設(shè)${b_n}={b_1}{q^{n-1}}（{b_1}＞0）$，
因b₁＞0且0＜q＜1，故對任意的k≥2，k∈N*，都有b_k-1＞b_k，
∴對$P（{b_k}）=\frac{1}{k-1}（|{{b_1}-{b_2}}|+|{{b_2}-{b_3}}|+…+|{{b_{k-1}}-{b_k}}|）$
=$\frac{1}{k-1}（{b_1}-{b_2}+{b_2}-{b_3}+…+{b_{k-1}}-{b_k}）=\frac{{{b_1}（1-q）}}{k-1}（1+q+{q^2}+…+{q^{k-2}}）$
$P（{b_{k+1}}）=\frac{{{b_1}（1-q）}}{k}（1+q+{q^2}+…+{q^{k-1}}）$，
因0＜q＜1，
∴qⁱ＞q^k-1（i＜k-1）；
∴1＞q^k-1，q＞q^k-1，q²＞q^k-1，…，q^k-2＞q^k-1，
∴1+q+q²+…+q^k-2＞（k-1）q^k-1，
∴k（1+q+q²+…+q^k-2）＞（k-1）（1+q+q²+…+q^k-2+q^k-1）
∴$\frac{{（1+q+{q^2}+…+{q^{k-2}}）}}{k-1}＞\frac{{（1+q+{q^2}+…+{q^{k-2}}+{q^{k-1}}）}}{k}$
∴$\frac{{{b_1}（1-q）（1+q+{q^2}+…+{q^{k-2}}）}}{k-1}＞\frac{{{b_1}（1-q）（1+q+{q^2}+…+{q^{k-2}}+{q^{k-1}}）}}{k}$，
即對任意的k≥2，k∈N*，都有P（b_k）＞P（b_k+1），故{b_n}是“趨穩(wěn)數(shù)列”．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的應(yīng)用及二項式定理的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的化簡運算能力．