Question

12．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一條漸近線與圓x²+（y-$\sqrt{2}$）²=1至少有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由已知得圓心（0，$\sqrt{2}$）到漸近線y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$b的距離：d=$\frac{2}{\sqrt{^{2}+2}}$≤1，由此能求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：圓x²+（y-$\sqrt{2}$）²=1的圓心（0，$\sqrt{2}$），半徑r=1．
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一條漸近線y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$b與圓x²+（y-$\sqrt{2}$）²=1至少有一個交點，
∴$\frac{2}{\sqrt{^{2}+2}}$≤1，化為b²≥2．
∴e²=1+（$\frac{a}$）²≥2，
∴e≥$\sqrt{2}$，
∴該雙曲線的離心率的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．