Question

6．任取k∈[-1，1]，直線L：y=kx+3與圓C：（x-2）²+（y-3）²=4相交于M、N兩點，則|MN|≥2$\sqrt{3}$的概率為 （　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 直線與圓相交，有兩個公共點，設(shè)弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則可構(gòu)建直角三角形，從而將問題仍然轉(zhuǎn)化為點線距離問題．然后結(jié)合幾何概型的概率公式進行求解即可．

解答 解：由圓的方程得：圓心（2，3），半徑r=2，
∵圓心到直線y=kx+3的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|MN|≥2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{{r}^{2}-hwknjma^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{3}$，
變形整理得4k²+4-4k²≥3k²+3，即${k}^{2}≤\frac{1}{3}$
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
則對應(yīng)|MN|≥2$\sqrt{3}$的概率P=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1-（-1）}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故選A

點評 本題主要考查幾何概型的計算，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出|MN|≥2$\sqrt{3}$對應(yīng)的k的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．