Question

6．已知向量$\overrightarrow a=（{1，\sqrt{3}}），\overrightarrow b=（{-2，0}）$．
（Ⅰ）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角；
（Ⅲ）當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，求$|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模長即可；
（2）利用平面向量的數(shù)量積求夾角即可；
（3）利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求$|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 因?yàn)橄蛄?\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow b=（-2，0）$，
所以$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（1，\sqrt{3}）-（-2，0）=（3，\sqrt{3}）$；…（2分）
$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2\sqrt{3}$；…（4分）
（2）因?yàn)?（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow a=6$，…（5分）
所以$cos\left?{\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow a}\right＞=\frac{（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow a}{{|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a}|}}=\frac{6}{{4\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（7分）
所以向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角為$\frac{π}{6}$；…（8分）
（3）因?yàn)?{|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|^2}={\overrightarrow a^2}-2t\overrightarrow a•\overrightarrow b+{t^2}{\overrightarrow b^2}$=4t²+4t+4=4${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+3，…（5分）
所以當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，最小值是3，最大值是12；…（7分）
所以$|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|$的取值范圍是[$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．  …（8分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．