Question

12．如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，PD⊥平面ABCD，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，CD=AD=PD，AB=4AE=2CD=4．
（1）求證：EF⊥PC；
（2）求點(diǎn)A到平面EDF的距離．

Answer 1

分析 （1）先證明DE⊥平面PCD，可得DE⊥PC，再證明PC⊥平面EFD，即可證明EF⊥PC；
（2）利用等體積法求點(diǎn)A到平面EDF的距離．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，CD=2，AB=4，AE=1，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩DC=D，
∴DE⊥平面PCD，
∴DE⊥PC，
∵PD=CD，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，
∴DF⊥PC，
∵DE∩DF=D，
∴PC⊥平面EFD，
∵EF?平面EFD，
∴EF⊥PC；
（2）解：△DEF中，DE=$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{2}$，DE⊥DF，∴S_△DEF=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
設(shè)點(diǎn)A到平面EDF的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}•1$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{6}}{2}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)面距離，考查等體積法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．