Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}\;（x∈R）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$），由x∈[0，π]得：$x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，利用正弦函數(shù)的圖象即可解得函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}{cos^2}x=sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}\;（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]\;（k∈Z）$．…（6分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得$g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）$，
∵x∈[0，π]得：$x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$sin（x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$．
∴當(dāng)x=0時(shí)，$g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）$有最小值$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
當(dāng)$x=\frac{5π}{6}$時(shí)，$g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）$有最大值1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．