Question

9．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若S_△ABC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{4}$（其中S_△ABC表示△ABC的面積），且（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，則△ABC的形狀是（　　）

• A． 有一個(gè)角是30°的等腰三角形
• B． 等邊三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}，\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，從而可作出平行四邊形ADFE，并且該四邊形為菱形，且有$\overrightarrow{AF}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，根據(jù)條件即可得出AF⊥BC，進(jìn)而便可得出AB=AC，即b=c，這樣即可求得${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}a\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$，而根據(jù)條件可得${S}_{△ABC}=\frac{{a}^{2}}{4}$，從而有$\frac{1}{2}a\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}=\frac{{a}^{2}}{4}$，進(jìn)一步即可得到a²=2c²=b²+c²，這樣便可得出△ABC的形狀．

解答 解：如圖，在邊AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}，\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，則：
四邊形ADFE為菱形，連接AF，DE，AF⊥DE，且$\overrightarrow{AF}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$；
∵$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）•\overrightarrow{BC}=0$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴AF⊥BC；
又DE⊥AF；
∴DE∥BC，且AD=AE；
∴AB=AC，即b=c；
∴延長(zhǎng)AF交BC的中點(diǎn)于O，則：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}a•\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{4}$，b=c；
∴$2a\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}={a}^{2}$；
∴$2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}=a$；
∴4c²-a²=a²；
∴a²=2c²=b²+c²；
∴∠BAC=90°，且b=c；
∴△ABC的形狀為等腰直角三角形．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，菱形的對(duì)角線互相垂直，以及向量垂直的充要條件，等腰三角形的高線也是中線，以及三角形的面積公式，直角三角形邊的關(guān)系．