Question

14．如果函數f（x）=sinx+acosx的圖象關于直線x=$\frac{π}{4}$對稱，那么實數a=1．

Answer 1

分析 先利用輔角公式對函數解析式化簡整理，根據三角函數性質可知在對稱軸處取得最大值或最小值，進而根據圖象的對稱軸，求得函數的最大和最小值，建立等式求得a．

解答 解：函數f（x）=acosx+sinx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+θ），
在對稱軸處取得最大值或最小值，
所以sin$\frac{π}{4}$+acos$\frac{π}{4}$=±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
所以：$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，可得：a²-2a+1=（a-1）²=0，
所以：a=1．
故答案為：1．

點評 本題考查正弦函數的對稱性，考查計算能力，邏輯思維能力，屬于基礎題．