Question

20．設函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$，k＞0．若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上有（　�。﹤�零點．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 不確定

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法先求出k的取值范圍，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而判斷函數(shù)的零點個數(shù)．

解答 解：由$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$=0得k=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
設h（x）=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，則h′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{2（lnx）^{2}}$，
由h′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
則當x＞$\sqrt{e}$時，h′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，
當0＜x＜1或1＜x＜$\sqrt{e}$時，h′（x）＜0，函數(shù)單調遞減，
∴當x=$\sqrt{e}$時，函數(shù)取得極小值h（$\sqrt{e}$）=$\frac{（\sqrt{e}）^{2}}{2ln\sqrt{e}}=e$，
∵f（x）存在零點，∴k＞e，
f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，則是f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，在$（{1，\sqrt{e}}]$上為增函數(shù)，
則f′（x）＜f′（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{k}{\sqrt{e}}$＜$\sqrt{e}$-$\frac{e}{\sqrt{e}}$=$\sqrt{e}$-$\sqrt{e}$=0，
即函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上為減函數(shù)，
f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$-kln$\sqrt{e}$=$\frac{e}{2}$-$\frac{k}{2}$=$\frac{e-k}{2}$＜0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上只有1個零點，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)單調性和導數(shù)的關系，利用參數(shù)分離法結合構造法是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．