Question

2．已知橢圓以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，以拋物線y²=16x的焦點為其中一個焦點，以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點為頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若E，F(xiàn)是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，則當直線PE，PF的斜率都存在，并記為k_PE、k_PF時，k_PE•k_PF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題設條件知拋物線的焦點為（4，0），雙曲線的焦點為（±5，0），設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由a=5，c=4，由此能求出橢圓的標準方程；
（2）設出點P，E，F(xiàn)的坐標，表示出k_PE、k_PF，運用點差法，結合斜率公式，即可得到k_PE•k_PF為定值．

解答 解：（1）由拋物線y²=16x的焦點為（4，0），可得c=4，
∴可設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點（±5，0）為頂點，
即有a=5，
∴b²=25-16=9，
故橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）設E、F是橢圓上關于原點對稱點，設E（m，n），則F（-m，-n），
設P點坐標為（x，y），則$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
兩式相減可得，$\frac{{x}^{2}-{m}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{9}$=0，
即為$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$，
又k_PE=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PF=$\frac{y+n}{x+m}$，
則k_PE•k_PF=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$，
∴k_PE•k_PF為定值，且為-$\frac{9}{25}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義與幾何性質，以及點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．