Question

11．在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：（x-2）²+y²=4．
（1）求圓C₁與C₂的公共弦所在直線方程；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C₁、C₂的極坐標(biāo)方程，并求出圓C₁、C₂的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （（1）兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式；
（2）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式，分別算出兩圓的極坐標(biāo)方程；再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，可得它們的交點(diǎn)距離原點(diǎn)的距離和射線與x軸正半軸所成的角，即可得到兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：（x-2）²+y²=4，
方程相減得圓C₁與圓C₂的公共弦所在直線的方程：x=1；
（2）解圓C₁：x²+y²=4，化成極坐標(biāo)方程為ρ²=4，解之得ρ=2
∵圓C₂：（x-2）²+y²=4，展開得x²+y²-4x=0，
∴⊙C₂化成極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ=0，化簡得ρ=4cosθ
又∵⊙C₁與⊙C₂在直角坐標(biāo)下交于點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$），B（2，-$\sqrt{3}$）
∴點(diǎn)A的極徑ρ₁=2，極角θ₁=$\frac{π}{3}$，得A的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$）
同理，得A的極坐標(biāo)為（2，-$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵．