Question

14．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于-$\frac{1}{4}$．
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線l與頂點(diǎn)C的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出C的坐標(biāo)，利用AC、BC所在直線的斜率之積等于-$\frac{1}{4}$，列出方程，求出點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|MN|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），則
直線AC的斜率${k_{AC}}=\frac{y}{x+2}\;（x≠-2）$，
直線BC的斜率${k_{BC}}=\frac{y}{x-2}\;（x≠2）$，（2分）
由已知有$\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}（x≠±2）$，化簡得頂點(diǎn)C的軌跡方程，$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（x≠±2）$．（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由題意$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$，解得5x²+8mx+4m²-4=0，（7分）
△=64m²-20（4m²-4）＞0，解得$-\sqrt{5}＜m＜\sqrt{5}$（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8}{5}m\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{5}\end{array}\right.$，$|MN|=\sqrt{（1+1）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$（10分）
代入解得m²=1，m=±1，
∴直線l的方程為y=x±1．（12分）

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．