14.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB+bcosA=$\frac{{\sqrt{3}c}}{2sinC}$,c=2,角C是銳角,則a+b+c的取值范圍為(4,6].

分析 利用正弦定理求出C,法一:求出三角形的外接圓的半徑,然后利用兩角和以及正弦定理求出a+b+c的取值范圍.
法二:利用余弦定理化簡求解即可.

解答 解:由$acosB+bcosA=\frac{{\sqrt{3}c}}{2sinC}$,得$sinAcosB+sinBcosA=\frac{{\sqrt{3}sinC}}{2sinC}$,
即$sin(A+B)=sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,因為角C是銳角,所以$C=\frac{π}{3}$.
(接上)法一:所以$A+B=\frac{2π}{3}$,$2R=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
所以$a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}(sinA+sin(\frac{2π}{3}-A)+sin\frac{π}{3})=4cos(A-\frac{π}{3})+2$
又因為 $0<A<\frac{2π}{3}$,所以 $-\frac{π}{3}<A-\frac{π}{3}<\frac{π}{3}$,所以 $\frac{1}{2}<cos(A-\frac{π}{3})≤1$
所以 $4<4cos(A-\frac{π}{3})+2≤6$,所以 4<a+b+c≤6.
法二:由余弦定理得${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={(a+b)^2}-3ab≥{(a+b)^2}-\frac{{3{{(a+b)}^2}}}{4}=\frac{{{{(a+b)}^2}}}{4}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.由(a+b)2≤16,得a+b≤4,
又 a+b>c,且c=2,所以4<a+b+c≤6.
故答案為:(4,6].

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的解法.

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