Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．當(dāng)a=-2時(shí)，${f}^{'}（x）=2x-\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（Ⅱ） 由g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，得${g}^{'}（x）=2x+\frac{a}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$，令φ（x）=$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$，則φ′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}-4x$．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+alnx，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=-2時(shí)，${f}^{'}（x）=2x-\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）和f（x）的值的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）、單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）、極小值是f（1）=1．
（Ⅱ） 由g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，得${g}^{'}（x）=2x+\frac{a}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$．
若函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）=$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$，則φ′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}-4x$．
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，φ′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-4x＜0，
∴φ（x）=$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$在[1，+∞）上為減函數(shù)，∴φ（x）_max=φ（1）=0．
∴a≥0．
∴a的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．