Question

19．已知定義在[1，16]上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4+8|x-\frac{3}{2}|}&{1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）}&{2＜x≤16}\end{array}\right.$，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． f（4）=0
• B． 函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-4，0]
• C． 將函數(shù)f（x）的極值由大到小排列得到數(shù)列{a_n}，n∈N^*，則{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-8
• D． 對(duì)任意的x∈[1，16]，不等式xf（x）+6≥0

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4+8|x-\frac{3}{2}|}&{1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）}&{2＜x≤16}\end{array}\right.$，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)中結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4+8|x-\frac{3}{2}|}&{1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）}&{2＜x≤16}\end{array}\right.$，
∴f（4）=$\frac{1}{2}$f（2）=-4+8×|2-$\frac{3}{2}$|=0，故A正確；
在區(qū)間[1，2]上，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值-4，當(dāng)x=1或2時(shí)，函數(shù)取最大值0，此時(shí)f（x）∈[-4，0]，
由2＜x≤16時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）$可得：
在區(qū)間（2，4]上，f（x）∈[-2，0]，在區(qū)間（4，8]上，f（x）∈[-1，0]，在區(qū)間（8，16]上，f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，0]，
綜上所述函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-4，0]，故B正確；
將函數(shù)f（x）的極值由大到小排列得到數(shù)列{a_n}，
則數(shù)列{a_n}為：-4，0，-2，0，-1，0，-$\frac{1}{2}$，則S_n=-$\frac{15}{2}$，故C錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）的圖象不會(huì)出現(xiàn)在函數(shù)y=$\frac{-6}{x}$的下方，

即f（x）≥$\frac{-6}{x}$恒成立，
即xf（x）+6≥0恒成立，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)求值，函數(shù)的極值，函數(shù)的值域，難度中檔．