Question

7．已知 函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＜0時，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常數(shù)a∈R．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（0），根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，利用賦值法即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性；          
（3）將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵f（x）對一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），
當x＜0時，f（x）＞0．
令x₁＞x₂，則x₂-x₁＜0，且f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＞0，
由（1）知，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是減函數(shù)． 
（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），
則不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等價為f（x²）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），
即f（x²+3a）＞f（3x+ax），
∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴不等式等價為x²+3a＜3x+ax，即（x-3）（x-a）＜0，
當a=0時，不等式的解集為∅，
當a＞3時，不等式的解集為（3，a），
當a＜3時，不等式的解集為（a，3）．（12分）

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．