Question

9．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且|PF₁||PF₂|最大值的取值范圍是[2c²，3c²]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓離心率e取值的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，|PF₁|•|PF₂|的最大值為a²，則由題意知2c²≤a²≤3c²，由此能夠?qū)С鰴E圓m的離心率e的取值范圍，即可求出橢圓離心率e取值的最大值．

解答 解：∵|PF₁|•|PF₂|的最大值=a²，
∴由題意知2c²≤a²≤3c²，
∴$\sqrt{2}$c≤a≤$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故橢圓離心率e取值的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．|PF₁|•|PF₂|的最大值=a²是正確解題的關(guān)鍵．