Question

2．已知在平而直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{a}{cosθ-2sinθ}$（a為非零常數(shù)）．
（I）求曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的普通方程：
（Ⅱ）若曲線(xiàn)C上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)1的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C中消去參數(shù)能求出曲線(xiàn)C的普通方程；由直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程能求出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)曲線(xiàn)C上的點(diǎn)P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），求出P到直線(xiàn)l的距離，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），
∴曲線(xiàn)C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{a}{cosθ-2sinθ}$（a為非零常數(shù)），
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x-2y-a=0．
（2）設(shè)曲線(xiàn)C上的點(diǎn)P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），
則P到直線(xiàn)l的距離：d=$\frac{|2cosα-2\sqrt{3}sinα-a|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4sin（$α+\frac{5π}{6}$）-a|，
∵曲線(xiàn)C上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)1的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴|4sin（$α+\frac{5π}{6}$）-a|=3，
當(dāng)4sin（$α+\frac{5π}{6}$）=4時(shí)，a=1或a=7；當(dāng)4sin（$α+\frac{5π}{6}$）=-4時(shí)，a=-1或-7．
∴實(shí)數(shù)a=±1或a=±7（舍去）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用．