Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x＞1}\\{4x-1，x≤1}\end{array}\right.$，則滿足f（f（a））=3^f（a）的實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 令f（a）=t，則f（t）=3^t，討論t＜1，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而得到方程無解，討論t≥1時，以及a≤1，a＞1，由分段函數(shù)的解析式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：則函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，
設(shè)f（a）=t，
則f（t）=3^t，
當(dāng)t＜1時，4t-1=3^t，即4t-1-3^t=0，
設(shè)g（t）=4t-1-3^t，
則導(dǎo)數(shù)為g′（t）=4-3^tln3，
在t＜1時，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）遞增，
即有g(shù)（t）＜g（1）=0，
則方程4t-1=3^t無解；
當(dāng)t≥1時，f（t）=3^t成立，
由f（a）≥1，
若a≤1，則4a-1≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$，且a≤1，此時$\frac{1}{2}$≤a≤1；
若a＞1，則3^a≥1解得a≥0，即為a＞1．
綜上可得a的范圍是a≥$\frac{1}{2}$．
故選：A

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．