Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，由此能證明數(shù)列{a_n+1}是以2為公比，以其昏昏為首項的等比數(shù)列，并能求出{a_n}的通項公式．
（2）由$_{n}=\frac{n}{{a}_{n}+1}=\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為公比，以2為首項的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．
解：（2）∵$_{n}=\frac{n}{{a}_{n}+1}=\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1+2n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+4n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．