Question

15．設(shè)a，b，c∈R⁺，求證：a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$≤$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$．

Answer 1

分析 分別利用重要不等式以及變形用對(duì)中間部分和右邊部分變形，進(jìn)行證明即可．

解答 證明：$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$≥$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}$=$\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}+\frac{ab}{2c}+\frac{ac}{2b}+\frac{bc}{2a}+\frac{ac}{2b}$≥a+b+c；
$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$=$\frac{{a}^{4}+^{4}+{c}^{4}}{abc}$=$\frac{{a}^{4}+^{4}+^{4}+{c}^{4}+{c}^{4}+{a}^{4}}{2abc}$≥$\frac{（{a}^{2}+^{2}）^{2}+（^{2}+{c}^{2}）^{2}+（{c}^{2}+{a}^{2}）^{2}}{4abc}$≥$\frac{2ab（{a}^{2}+^{2}）+2bc（^{2}+{c}^{2}）+2ac（{c}^{2}+{a}^{2}）}{4abc}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}+\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}+\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$；
所以a，b，c∈R⁺，a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$≤$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了重要不等式以及變形不等式證明不等式；屬于中檔題．