Question

3．如圖，在棱長為a的正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz．
（1）寫出點E、F的坐標；
（2）求證：A₁F⊥C₁E；
（3）若A₁、E、F、C₁四點共面，求證：$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$．

Answer 1

分析 （1）在空間直角坐標中結合正方體結構特征，能求出E，F(xiàn)的坐標．
（2）求出$\overrightarrow{{{A}_{1}F}^{\;}}$=（-x，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（a，x-a，-a），利用向量法能證明A₁F⊥C₁E．
（3）由A₁、E、F、C₁四點共面，得到$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，從而E，F(xiàn)，分別AB，BC的中點，由此能證明$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$．

解答 解：（1）∵在棱長為a的正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC上的動點，
且AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，
∴E（a，x，0），F(xiàn)（a-x，a，0）．
證明：（2）A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），
$\overrightarrow{{{A}_{1}F}^{\;}}$=（-x，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（a，x-a，-a），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=-ax+ax-a²+a²=0，
∴A₁F⊥C₁E．
（3）∵E（a，x，0），F(xiàn)（a-x，a，0），A₁、E、F、C₁四點共面，
$\overrightarrow{EF}$=（-x，a-x，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，a，0），
∴$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，∴$\frac{-x}{-a}=\frac{a-x}{a}$，解得x=$\frac{a}{2}$，
∴E，F(xiàn)，分別AB，BC的中點，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$．

點評 本題考查空間直角坐標系中點的坐標的求法，考查兩直線垂直的證明，考查向量相等的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．