Question

13．若數(shù)列{a_n}對任意n∈N^*，滿足$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=k（k為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為等差比數(shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2（a_n-1），求數(shù)列{a_n}的通項公式，并判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，試判斷{a_n}是否一定為等差比數(shù)列，并說明理由；
（3）試寫出一個等差比數(shù)列的通項公式a_n，使此數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，并證明之．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_n=2（a_n-1），再寫第n-1項，兩式相減，可得{a_n}的通項公式，根據(jù)新定義，驗證 $\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=2 （n∈N₊） 即可．
（2）利用新定義，結合a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即可判斷；
（3）由題意可以寫一個等比數(shù)列加常數(shù)的數(shù)列即可．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2（a₁-1），
∴a₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
∴${a}_{n}={2}^{n}．（n∈{N}_{+}）$，
∵$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=\frac{{2}^{n+2}-{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是等差比數(shù)列．
（2）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=d，
當d≠0時，$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=\fracmy46mueakcsoyw=1$，數(shù)列{a_n}是等差比數(shù)列；
當d=0時，數(shù)列{a_n}時常數(shù)列，數(shù)列{a_n}不是等差比數(shù)列．
（3）如：a_n=3ⁿ+2
$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=3，數(shù)列{a_n}是等差比數(shù)列，但數(shù)列{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．

點評 本題考查新定義，考查數(shù)列通項的求解，考查錯位相減法求數(shù)列的和，解題的關鍵是對新定義的理解．