Question

11．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點為F，斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點，當(dāng)△FAB周長最大時，△FAB的面積為（　　）

• A． $\frac{12\sqrt{2}}{7}$
• B． $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{6\sqrt{2}}{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 由橢圓方程求出左焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式大于0求出m的范圍，再由弦長公式和焦半徑公式得到△FAB周長，由導(dǎo)數(shù)求得最大值，并得到此時m的值，進(jìn)一步求得|AB|，由點到直線的距離公式求出F到l的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，知a²=4，b²=3，∴c²=a²-b²=1．
∴F（-1，0），
設(shè)直線l的方程為y=x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²+8mx+4m²-12=0．
由△=64m²-28（4m²-12）＞0，得$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{7}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{8m}{7}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{7}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}\sqrt{21-3{m}^{2}}$．
|AF|+|BF|=$2a+\frac{c}{a}（{x}_{1}+{x}_{2}）=4+\frac{1}{2}×（-\frac{8m}{7}）$=$4-\frac{4m}{7}$．
∴△FAB周長為$\frac{4\sqrt{2}}{7}\sqrt{21-3{m}^{2}}+4-\frac{4m}{7}$．
令f（m）=$\frac{4\sqrt{2}}{7}\sqrt{21-3{m}^{2}}+4-\frac{4m}{7}$．
則f′（x）=$-\frac{4\sqrt{6}m+4\sqrt{7-{m}^{2}}}{7\sqrt{7-{m}^{2}}}$，由f′（x）=0，得m=-1．
∴當(dāng)m=-1時，△FAB的周長有最大值．
此時|AB|=$\frac{24}{7}$，
直線l的方程為x-y-1=0．
則F到直線l的距離d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．
則△FAB的面積為$\frac{1}{2}×\frac{24}{7}×\sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．