Question

8．一個醫(yī)生已知某種病患者的痊愈率為25%，為實驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有4個被治好，則認為這種藥有效；反之，則認為無效，試求：
（1）雖新藥有效，且把痊愈率提高到35%，但通過實驗被否認的概率；
（2）新藥完全無效，但通過實驗被認為有效的概率．

Answer 1

分析 （1）記一個病人服用該藥痊愈為事件A，且其概率為p，那么10個病人服用該藥相當于10次重復試驗，由n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生k次的概率公式，能求出試驗被否定（即新藥無效）的概率．
（2）由新藥無效，得p=0.25，由n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生k次的概率公式，能求出試驗被認為有效的概率．

解答 解：（1）記一個病人服用該藥痊愈為事件A，且其概率為p，那么10個病人服用該藥相當于10次重復試驗，
∵新藥有效且p=0.35，∴由n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生k次的概率公式知，試驗被否定（即新藥無效）的概率為：
P₁₀（0）+P₁₀（1）+P₁₀（2）+P₁₀（3）
=${C}_{10}^{0}$p⁰（1-p）¹⁰+${C}_{10}^{1}$p¹（1-p）⁹+${C}_{10}^{2}$p²（1-p）⁸+${C}_{10}^{3}$p³（1-p）⁷≈0.5138．
（2）∵新藥無效，∴p=0.25，試驗被認為有效的概率為：
P₁₀（4）+P₁₀（5）+…+P₁₀（10）
=1-P₁₀（0）-P₁₀（1）-P₁₀（2）-P₁₀（3）≈0.224 2．
答：新藥有效，但通過試驗被否定的概率為0.513 8；而新藥無效，但通過試驗被認為有效的概率為0.2242．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生k次的概率公式的合理運用．