Question

10．若函數(shù)f（x）=4cos（2x-$\frac{π}{4}$）+5
（1）求函數(shù)f（x）在[-π，π]上單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程；
（3）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的最值及相應(yīng)x的值；
（4）若f（a）=3．且a∈[0，2π]，求角a的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦函數(shù)在[-π，π]上的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程．
（3）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的最值及相應(yīng)x的值．
（4）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式以及f（a）=3，且a∈[0，2π]，求得角a的值．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=4cos（2x-$\frac{π}{4}$）+5，令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[-π，π]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．
（2）令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，
可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（ $\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，5），k∈Z．
令 2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的圖象的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（3）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{3π}{4}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2$\sqrt{2}$+5，此時(shí)，x=-$\frac{π}{4}$；
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=0時(shí)，函數(shù)取得最大值為9，此時(shí)，x=$\frac{π}{8}$．
（4）若f（a）=4cos（2a-$\frac{π}{4}$）+5=3，即 cos（2a-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，且a∈[0，2π]，
故2a-$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$，∴a=$\frac{11π}{24}$．

點(diǎn)評 本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．