Question

14．求函數(shù)y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$（x＞2）的最小值，并求函數(shù)取最小值時x的值．

Answer 1

分析 由題意可得x²-4＞0，變形可得y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$=x²-4+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$+4，整體利用基本不等式可得．

解答 解：∵x＞2，∴x²＞4，∴x²-4＞0，
∴y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$=x²-4+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$+4
≥2$\sqrt{（{x}^{2}-4）•\frac{1}{{x}^{2}-4}}$+4=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x²-4=$\frac{1}{{x}^{2}-4}$即x=$\sqrt{5}$時取等號．
故數(shù)y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$（x＞2）的最小值為6，此時x的值為$\sqrt{5}$

點評 本題考查基本不等式求最值，整體湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．