Question

18．己知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x．x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）首先根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題求出參數(shù)的取值范圍．

解答 解：（1）（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=2（sin2x•$\frac{1}{2}$-cos2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1
所以：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得：$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
所以由$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，可得遞增區(qū)間為[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]；
由$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，可得遞減區(qū)間為[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]；
所以，函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為2；
（2）由（1）可得：在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為2；
使得|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
即：-2＜f（x）-m＜2，
只需滿足f（x）_max-2＜m＜f（x）_min+2即可，
可得：1＜m＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，利用函數(shù)的整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題．