Question

12．已知圓M經過A（-1，0），B（1，0）和C（a，2）三點．
（1）當a=1時，求圓M的方程；
（2）當a變化時，求圓M截y軸所得弦長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由圓M經過三點A（-1，0），B（1，0）和C（1，2），聯立方程組，求得D、E、F的值，可得圓M的方程．
（2）求出圓M的方程，令x=0，可得y²+$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$y-1=0，即可求圓M截y軸所得弦長的取值范圍．

解答 解：（1）設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由圓M經過三點A（-1，0），B（1，0）和C（1，2），
可得 $\left\{\begin{array}{l}{1-D+F=0}\\{1+D+F=0}\\{1+4+D+2E+F=0}\end{array}\right.$，求得 D=0，F=-1，E=-2，可得圓M的方程為x²+y²-2y-1=0．
（2）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{1-D+F=0}\\{1+D+F=0}\\{{a}^{2}+4+aD+2E+F=0}\end{array}\right.$，∴D=0，F=-1，E=$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$，
可得圓M的方程為x²+y²+$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$y-1=0．
令x=0，可得y²+$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$y-1=0，
圓M截y軸所得弦長$\sqrt{\frac{（-3-{a}^{2}）^{2}}{4}+4}$≥$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查用待定系數法求求圓的方程，直線和圓相交的性質，弦長公式的應用，屬于中檔題．