Question

13．若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）始終滿足關(guān)系式$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1
• B． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}$=1
• C． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 由$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8的幾何意義，即動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）的距離和為定長(zhǎng)8，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的關(guān)鍵為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且求出a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b值，則橢圓方程可求．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）的距離和為定長(zhǎng)8，
∵兩定點(diǎn)距離為4，且8＞4，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以（0，-2）和（0，2）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8的橢圓，
則a=4，c=2，∴b²=a²-c²=16-4=12，
則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，訓(xùn)練了由橢圓定義求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，是中檔題．