Question

1．若f（x）=$\frac{x}{x+1}$，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），則f（1）+f（2）+…f（2011）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）…f₂₀₁₁（1）=（　　）

• A． 2009
• B． 2010
• C． 2011
• D． 1

Answer 1

分析 觀察所給的前四項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先觀察分子，只有一項(xiàng)組成，并且沒(méi)有變化，在觀察分母，有兩部分組成，是一個(gè)一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的變化特點(diǎn)，得到f（n）+f_n（1）=$\frac{n}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$=1，從而得出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$，觀察：
  f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+1}$，
 f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{2x+1}$，
 f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{3x+1}$，
 f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{4x+1}$，
…
所給的函數(shù)式的分子不變都是x，
而分母是的一次項(xiàng)系數(shù)系數(shù)分別是1，2，3，4，…，n，常數(shù)項(xiàng)均為1
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{nx+1}$，
f（n）+f_n（1）=$\frac{n}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$=1，
則f（1）+f（2）+…+f（2011）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）…+f₂₀₁₁（1）=2011
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，實(shí)際上本題考查的重點(diǎn)是給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題是一個(gè)綜合題目，知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的比較巧妙．