分析 (Ⅰ)由題意可得2a=$2\sqrt{2}$,e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,從而解出橢圓方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=x-1,從而聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=x-1\end{array}\right.$,從而解出交點(diǎn)坐標(biāo),從而求面積;
(Ⅲ)分類討論是否與x軸垂直,從而解出直線l的方程.
解答 解:(Ⅰ)由已知,橢圓方程可設(shè)為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,
∵長軸長2a=$2\sqrt{2}$,離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∴$b=c=1,a=\sqrt{2}$,
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$;
(Ⅱ)∵直線l過橢圓右焦點(diǎn)F(1,0),且斜率為1,
∴直線l的方程為y=x-1,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=x-1\end{array}\right.$得,
3y2+2y-1=0,
解得${y_1}=-1,{y_2}=\frac{1}{3}$,
∴${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}|OF|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{1}{2}|{y_1}-{y_2}|=\frac{2}{3}$.
(Ⅲ)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l的方程為x=1,
此時(shí)∠POQ小于90°,OP,OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形.
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1).
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=k(x-1)\end{array}\right.$可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
因?yàn)椤?16k4-4(1+2k2)(2k2-2)=8(k2+1)>0,
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$.
因?yàn)閥1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
所以${y_1}{y_2}=\frac{{-{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$.
因?yàn)橐設(shè)P,OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形,
所以kOP•kOQ=-1,
因?yàn)?\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-1$,
所以x1x2+y1y2=$\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{-{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$得k2=2.
所以$k=±\sqrt{2}$.
所以所求直線的方程為$y=±\sqrt{2}(x-1)$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系應(yīng)用,同時(shí)考查了分類討論的思想與學(xué)生的化簡運(yùn)算能力.
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A. | $[-2,\sqrt{3}]$ | B. | $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},1]$ | C. | $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ | D. | $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},\sqrt{3}]$ |
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A. | 4 | B. | 5 | C. | 7.5 | D. | 10 |
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A. | $y={x^{\frac{2016}{2015}}}$ | B. | $y={x^{\frac{2013}{2015}}}$ | C. | $y={x^{-\frac{2014}{2015}}}$ | D. | $y={x^{-\frac{2015}{2016}}}$ |
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x | $\frac{π}{4}$ | $\frac{3π}{4}$ | $\frac{5π}{4}$ | ||
ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | $\frac{3π}{2}$ | 2π | |
f(x) | 0 | 2 | -2 | 0 |
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A. | x-y+1=0,2x-y=0 | B. | x-y-1=0,x-2y=0 | C. | x+y+1=0,2x+y=0 | D. | x-y+1=0,x+2y=0 |
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A. | p∧¬q | B. | ¬p∧q | C. | p∧q | D. | ¬p∨q |
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