Question

9．第二屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)在浙江省烏鎮(zhèn)開幕后，某科技企業(yè)為抓住互聯(lián)網(wǎng)帶來的機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備．生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本為C（x）萬元．若年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，C（x）=$\frac{1}{2}$x²+40x（萬元）；若年產(chǎn)量不小于80臺(tái)時(shí)，C（x）=101x+$\frac{8100}{x}$-2180（萬元）．每臺(tái)設(shè)備售價(jià)為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完．
（1）求年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

分析 （1）通過利潤=銷售收入-成本，分0＜x＜80、x≥80兩種情況討論即可；
（2）通過（1）配方可知當(dāng)0＜x＜80時(shí)，當(dāng)x=60時(shí)y取得最大值為1300（萬元），利用基本不等式可知當(dāng)x≥80時(shí)，當(dāng)x=90時(shí)y取最大值為1500（萬元），比較即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x＜80時(shí)，y=100x-（$\frac{1}{2}$x²+40x）-500=-$\frac{1}{2}$x²+60x-500，
當(dāng)x≥80時(shí)，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500=1680-（x+$\frac{8100}{x}$），
于是y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+60x-500，0＜x＜80}\\{1680-（x+\frac{8100}{x}），x≥80}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知當(dāng)0＜x＜80時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$（x-60）²+1300，
此時(shí)當(dāng)x=60時(shí)y取得最大值為1300（萬元），
當(dāng)x≥80時(shí)，y=1680-（x+$\frac{8100}{x}$）≤1680-2$\sqrt{x•\frac{8100}{x}}$=1500，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{8100}{x}$即x=90時(shí)y取最大值為1500（萬元），
綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1500萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．