【題目】 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2bln x,其中b為常數(shù).

(1)當(dāng)b>時(shí),判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)有極值點(diǎn),求b的取值范圍及f(x)的極值點(diǎn).

【答案】(1)單調(diào)遞增(2)見解析

【解析】

試題(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再對導(dǎo)函數(shù)分子配方,根據(jù)b范圍確定導(dǎo)函數(shù)符號,即得函數(shù)單調(diào)性(2)函數(shù)f(x)有極值點(diǎn),即導(dǎo)函數(shù)變化,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根,即得b的取值范圍,再列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,進(jìn)而確定f(x)的極值點(diǎn).

試題解析:解:(1)由題意知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

f′(x)=2x-2+ (x>0),

∴當(dāng)b>時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)①由(1)得,當(dāng)b時(shí),f′(x)≥0,函數(shù)f(x)無極值點(diǎn).

②當(dāng)b<時(shí),f′(x)=0有兩個(gè)不同解,x1,x2,所以(ⅰ)b≤0時(shí),x1≤0(0,+∞),舍去,

x2≥1∈(0,+∞),

此時(shí)f′(x),f(x)隨x在定義域上的變化情況如下表:

x

(0,x2)

x2

(x2,+∞)

f′(x)

0

f(x)

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此表可知:b≤0時(shí),f(x)有惟一極小值點(diǎn),x.

(ⅱ)當(dāng)0<b<時(shí),0<x1<x2<1,此時(shí),f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

x

(0,x1)

x1

(x1x2)

x2

(x2,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此表可知:0<b<時(shí),f(x)有一個(gè)極大值x1和一個(gè)極小值點(diǎn)x2.

綜上所述:當(dāng)b≤0時(shí),f(x)有惟一極小值點(diǎn)x;

當(dāng)0<b<時(shí),f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x和一個(gè)極小值點(diǎn)x.

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(1)寫出總造價(jià)y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;

(2)求污水處理池的長和寬各為多少時(shí),污水處理池的總造價(jià)最低,并求最低造價(jià).

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)證明:GAB的中點(diǎn);

)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.

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1)寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和l的普通方程;

2)若|PM|,|MN||PN|成等比數(shù)列,求a的值.

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1)求證:;

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