Question

4．已知一個(gè)等邊三角形的三邊長(zhǎng)為6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，求某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2的概率．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，記“螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2”為事件A，則其對(duì)立事件為“螞蟻與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過2”，先求得邊長(zhǎng)為6的等邊三角形的面積，由幾何概型可得P（$\overline{A}$），進(jìn)而由對(duì)立事件的概率性質(zhì)，可得答案．

解答 解：記“螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2”為事件A，則其對(duì)立事件$\overline{A}$為“螞蟻與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過2”，
邊長(zhǎng)為6的等邊三角形的面積為S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$，
則事件$\overline{A}$構(gòu)成的區(qū)域面積為S（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}$×π×2²=2π，
由幾何概型的概率公式得P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{2π}{9\sqrt{3}}$=1-$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型，涉及對(duì)立事件的概率性質(zhì)；解題時(shí)如需要計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，可用間接法．