Question

11．函數(shù)f（x）=sin3x+sinx（x∈[0，$\frac{π}{6}$]）的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用三倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，換元后利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，再由單調(diào)性求得最值．

解答 解：f（x）=sin3x+sinx=sin（2x+x）+sinx
=sin2xcosx+cos2xsinx+sinx=2sinxcos²x+（cos²x-sin²x）sinx+sinx
=3sinx（1-sin²x）-sin³x+sinx=4sinx-4sin³x．
令t=sinx，
∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴t∈[0，$\frac{1}{2}$]，
由y=-4t³+4t，得y′=-12t²+4＞0，
∴函數(shù)y=-4t³+4t在[0，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，
∴${y}_{max}=\frac{3}{2}$，即函數(shù)f（x）=sin3x+sinx（x∈[0，$\frac{π}{6}$]）的最大值為$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，三角函數(shù)的化簡與求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．